Posted on

hhmmm…

Beberapa minggu belakangan, gw meninggalkan dunia nyata dan sibuk bertamasya ke ruang berdimensi n (\mathbb {R}^n) . Inilah hasil yang gw dapat.

=========================

Teorema Rolle adalah salah satu teorema yang cukup penting dalam kalkulus dan analisis. Teorema ini dikemukakan pertama kali oleh seorang astronom India bernama Bhaskara II pada abad ke 12 dan pertama kali dibuktikan secara formal oleh seorang matematikawan Prancis bernama Michel Rolle pada tahun 1691. Nama “Teorema Rolle” pertama kali digunakan oleh seorang matematikawan Jerman bernama Moritz Wilhelm Drobisch pada tahun 1834 dan matematikawan Itali bernama Giusto Bellavitis pada tahun 1846. Teorema Rolle menyatakan eksistensi dari suatu titik di mana turunan dari suatu fungsi kontinu di titik tersebut, jika ada, nilainya adalah nol. Berikut rumusan detailnya:

Teorema Rolle : Misalkan fungsi f:\left [ a,b \right ] \subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} kontinu pada [a,b] , turunan f , yaitu f' ada di (a,b) , dan f(a)=f(b) , maka terdapat c \in (a,b) sedemikian sehingga f'(c)=0 (Bartle, 1964; 209).

Hasil ini dapat digeneralisasikan sehingga berlaku di \mathbb {R}^n . Dalam hal ini, fungsi f adalah sebuah fungsi kontinu dengan daerah asal di \mathbb {R}^n dan daerah hasil di \mathbb {R}^p . Hanya saja, teorema Rolle tidak bisa langsung digeneralisasi ke \mathbb {R}^n . Salah satu penyebabnya adalah fungsi dengan daerah asal di \mathbb {R}^n dan daerah hasil di \mathbb {R}^p adalah suatu fungsi bernilai vektor. Perlu adanya suatu syarat khusus yang lain agar teorema Rolle berlaku di \mathbb {R}^n . Berikut rumusan detail generalisasinya:

Teorema Rolle di \mathbb {R}^n versi 1 : Misalkan \displaystyle {\bf f}: D( {\bf {x}_0},r ) \subset \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^p kontinu pada D({\bf {x}_0},r) dan memiliki turunan di B({\bf {x}_0},r) . Asumsikan bahwa terdapat {\bf v} \in \mathbb {R}^p sedemikian sehingga {\bf v} tegak lurus terhadap {\bf f} ({\bf x}) untuk setiap {\bf x} \in S({\bf {x}_0},r) atau {\bf v} \cdot {\bf f} ({\bf x}) konstan pada S({\bf {x}_0},r) , maka terdapat {\bf c} \in B({\bf {x}_0},r) sedemikian sehingga {\bf v} \cdot {\bf f}'({\bf c}){\bf u}=0 untuk setiap {\bf u} \in \mathbb {R}^n .

Teorema Rolle di \mathbb {R}^n versi 2 : Misalkan \displaystyle {\bf f}: D( {\bf {x}_0},r ) \subset \mathbb {R}^n  \to \mathbb {R}^p kontinu pada D({\bf {x}_0},r) dan memiliki turunan di B({\bf {x}_0},r) . Asumsikan bahwa terdapat {\bf v} \in \mathbb {R}^p dan {\bf {z}_0} \in B({\bf {x}_0},r) sedemikian sehingga {\bf v} \cdot ({\bf f} ({\bf x})-{\bf f}({\bf {z}_0})) tidak berubah tanda pada S({\bf {x}_0},r) , maka terdapat {\bf c} \in B({\bf  {x}_0},r) sedemikian sehingga {\bf v} \cdot {\bf f}'({\bf  c}){\bf u}=0 untuk setiap {\bf u} \in \mathbb {R}^n .

dimana

  • B({\bf {x}_0},r)=\{{\bf x} \in \mathbb {R}^n | \|{\bf x} - {\bf {x}_0} \|<0\}
  • D({\bf {x}_0},r)=\{{\bf x} \in \mathbb {R}^n | \|{\bf x} - {\bf {x}_0} \| \le 0\}
  • S({\bf {x}_0},r)=\{{\bf x} \in \mathbb {R}^n | \|{\bf x} - {\bf {x}_0} \|=0\}
  • \|{\bf x}\|=\sqrt {{\bf x} \cdot {\bf x}} .

Generalisasi teorema Rolle di \mathbb {R}^n menghasilkan beberapa akibat sebagaimana teorema Rolle di \mathbb {R} . Beberapa akibat dari teorema Rolle di \mathbb {R}^n diantaranya adalah generalisasi teorema nilai rata-rata Cauchy dan teorema nilai rata-rata Sanderson. Di samping itu, teorema Rolle di \mathbb {R}^n juga bisa diaplikasikan secara geometri, diantaranya adalah untuk menentukan garis dan bidang yang sejajar dengan suatu bidang.

Pada gambar di atas, f:D( {\bf {x}_0},r ) \subset \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R} adalah paraboloida f(x,y)=x^2+y^2-3 dengan daerah asal D({\bf 0},11) . Titik {\bf c} pada teorema Rolle adalah {\bf c}=(0,0) sehingga f({\bf c})=-3 . Bidang yang menyinggung titik (0,0,-3) (bidang q ) sejajar dengan bidang p dan garis L yang melalui f[S({\bf 0},11)] .

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s